Condorcet, Arrow y la democracia directa

Supongamos que 3 profesores hacen de jueces en un concurso  para elegir al mejor alumno entre tres candidatos: A, B y C. Cada profesor escribe en un papel una terna con sus preferencias. Por ejemplo, si un profesor considera que A es mejor que B y que B es mejor que C, entonces escribe A PREF B PREF C. El escrutinio arroja los siguientes resultados:

 1 voto-> A PREF B PREF C ,
 1 voto-> B PREF C PREF A ,
 1 voto-> C PREF A PREF B .

¿Qué alumno ha ganado?. Una mayoría de dos profesores creen que A es mejor que B; también dos profesores creen que B es mejor que C. Sin embargo, A no es mejor que C; así lo piensan dos de los tres profesores que forman el jurado. El anterior es un ejemplo de la paradoja de Condorcet.

En los años 50, Arrow va a intentar concebir un sistema de elecciones donde no se produzca esta paradoja [1]. Parte de dos conjuntos: votantes y opciones, que denotaremos por VOT y OPC, respectivamente. Las preferencias PREF es un subconjunto del producto OPC x OPC. Si (A,B) están en PREF, entonces diremos A PREF B. Las preferencias han de cumplir dos condiciones: la ley antisimétrica

si A PREF B, entonces NO B PREF A ,

y la ley transitiva negativa

A PREF B implica que A PREF C ó C PREF B .

Gracias a esta segunda ley, en su sistema ya no hay problemas con la paradoja de Condorcet. En efecto, en el ejemplo de los alumnos ocurre que A PREF B y sin embargo, no es cierto que A PREF C ó C PREF B.

A continuación, Arrow considera el espacio de las funciones de situación SIT que son funciones VOT -> PREF. La paradoja de Arrow es un teorema que afirma que no existe una función (Social Welfare Function) SWF: SIT -> PREF, tal que verifique a la vez las siguientes hipótesis:

  1. OPC tenga 3 o más elementos.
  2. (Unanimidad) Para toda función f de SIT, entonces: A f(VOT) B implica A SWF(f) B .
  3. (Independencia de las alternativas irrelevantes) Si f=g, entonces: SWF(f)=SWF(g) .
  4. (No dictadura) No existe v en VOT, tal que para toda f en SIT, entonces: A f(v) B implica A SWF(f) B .

Este teorema es válido cuando VOT es un conjunto finito. El lector pensará que VOT siempre es finito; así ocurre si nos referimos, por ejemplo, a los votantes en unas elecciones. Sin embargo, podemos imaginar un marco teórico donde los votantes tuvieran un sistema de elección continuo en el tiempo. En este caso, o en otros donde VOT no es finito y es numerable o tenga cardinal superior, se rompe la paradoja de Arrow; es decir, podría haber un sistema de elección de preferencias cumpliendo las hipótesis de arriba. Por tanto, si VOT no es finito, teóricamente podría haber una "democracia directa sin dictadores".

Aún así, en este caso existiría una oligarquía O, que es un subconjunto de VOT, que jugaría el mismo papel que el dictador. Este resultado se conoce como el Teorema de la dictadura escondida de Kirman-Sondermann [2]. Bajo ciertas hipótesis de espacios de medida de Aumann, este teorema prueba que para toda f de SIT, entonces

A f(O) B implica A SWF(f) B .

Conclusión. La democracia directa, entendida como la posibilidad de que un colectivo elija mediante votación sus preferencias, es imposible sin que aparezcan dictadores u oligarquías. Cuando en Podemos o en otros partidos hacen consultas a las bases, siempre hay un dictador, a saber: Pablo Iglesias o el correspondiente jefe del partido.

 

Referencias:

[1] https://mathoverflow.net/questions/302393/the-rise-and-fall-of-dictators-how-it-depends-on-our-choice

[2] A. Kirman, D. Sondermann, Arrow's theorem, many agents, and invisible dictators, Journal of Economic Theory, 1972, vol. 5, issue 2, 267-277.