Atiyah y la hipótesis de Riemann

Los problemas del milenio

Los problemas del Milenio eran los 7 problemas matemáticos más importantes sin resolver a principios del año 2000. Hasta ayer, sólo se había resuelto la Conjetura de Poincaré. Dichos problemas están premiados con un millón de dólares que, con ser una buena suma de dinero, es muy inferior al salto intelectual que suponen para la ciencia a nivel mundial.

En el año 2011, asistí en Barcelona a unas jornadas matemáticas donde seis conferenciantes españoles de alto nivel exponían a jóvenes estudiantes dichos problemas. Mi director de tesis, Oscar García Prada se encargó del problema de Yang-Mills y el salto de masa. Ricardo Pérez Marco nos explicó la hipótesis de Riemann, tal vez, el más popular de los 7 problemas. Aún recuerdo el énfasis que puso Ricardo, en que los jóvenes debíamos explorar caminos no conocidos: no usar sólo métodos analíticos o algebraicos, sino una combinación de ambos. Para mí, lo más bonito de dicha charla fue la explicación del método trans-algebraico, que consiste en usar razonamientos parecidos a los que empleaba Euler, el gran matemático del siglo XVIII.

¿En qué consiste la hipótesis de Riemann?

La función Z de Riemann se define de la siguiente manera

Z(s)=1+(1/2)^{s}+(1/3)^{s}+(1/4)^{s}+... ,

 B. Riemann

B. Riemann

donde s es un número complejo. Euler, el matemático mencionado arriba, había calculado algunos valores: por ejemplo, el valor de Z(2) está relacionado, de manera sorprendente, con el número pi: Z(2)=pi^{2}/6. La función Z es convergente si la parte real de s, Re(s), es mayor que 1. Entonces, por continuación analítica, se puede extender la función Z a todo el plano complejo, menos para s=1. De esta manera, se obtiene, por ejemplo, que Z(-1)= -1/12. Cuando s=-2,-4,-6, etc, entonces Z(s)=0. A estos valores de s se les llama ceros triviales.

La hipótesis de Riemann consiste en demostrar que los ceros de Z que no son triviales yacen en la recta Re(s)=1/2.

¿Por qué es importante la hipótesis de Riemann?

En un artículo de 1859, el matemático B. Riemann explicó que la localización de los ceros no triviales de la función Z estaba relacionada con la distribución de los números primos. Un número natural mayor que 1 es primo si sólo es divisible por 1 y por él mismo. Estudiados desde la época griega, los números primos son los átomos de la aritmética porque todo número natural descompone de forma única en producto de primos, y éstos son “irreducibles“. La relación entre la función Z y los números primos viene dada por:

Z(s)=1/(1-1/2^{s}) 1/(1-1/3^{s}) 1/(1-1/5^{s})... ,

donde el producto de la derecha recorre todos los números primos 2,3,5,7, etc.

¿Qué avances se habían hecho hasta ahora?

Pues en el plano teórico, no muchos. Se iban acotando franjas en el plano complejo donde se encontraban los ceros no triviales y con ordenador se habían calculado billones de ceros; todos situados en la recta Re(s)=1/2. Pero estos avances, no demostraban que no hubiera algún cero “rebelde“, fuera de dicha recta...

¿Quién es M. Atiyah?

 M. Atiyah

M. Atiyah

Ayer, lunes 24, fue una fecha gloriosa: Michael Atiyah exponía su demostración de la hipótesis de Riemann. Atiyah nació en el año 1929. Ha sido un matemático brillante desde su juventud. Ganador de la medalla Fields y del premio Abel, estableció junto a Singer el teorema del índice, introdujo la teoría K, los fibrados reales y, sobre todo, desarrolló importantes conexiones entre la física y la matemática: teoría de monopolos, instantones, teoría gauge, ecuaciones de Yang-Mills, etc. Todos sus estudiantes heredaron esta pasión por la física-matemática. En concreto, uno de sus discípulos E. Witten, está considerado uno de los mejores físicos del mundo.

Mi experiencia con Atiyah

 N. Hitchin, O. García Prada y M. Atiyah junto a los estudiantes de Óscar.

N. Hitchin, O. García Prada y M. Atiyah junto a los estudiantes de Óscar.

Conocí a Sir Michael Atiyah en una comida en Madrid, organizada por mi director, Óscar García Prada, quien fue estudiante de N. Hitchin y S. Donaldson, ambos discípulos de Atiyah. Lo primero que me llamó la atención de él fue su energía: nada más verme me miró con sus ojos azules y me preguntó por mi problema de tesis, mi nombre y demás minucias no importaban. Al verlo, me quedé como cuando Hegel contempló a Napoleon a caballo en Jena: vi al espíritu universal delante de mi. Como me vio la cara de estupefacción y de novato, le explicó a Óscar algunos detalles históricos y tácticas para abordar mi problema de tesis.

En otra ocasión, en un congreso en Brest (Francia), Atiyah dió una maravillosa lectura sobre teoría K, pero lo hizo a toda velocidad. A nadie nos dio tiempo a tomar notas. Con la espontaneidad que nos caracteriza a los españoles, le pedí, al final de su conferencia, los apuntes que había usado en la misma. Él aceptó, y a toda prisa copié, como un monje medieval, unas 60 páginas de apuntes suyos que aún, a día de hoy, me piden algunos colegas matemáticos.

Conclusiones

No voy a exponer la demostración de Atiyah por la complicación técnica que tiene para hacerlo en unas cuantas líneas. Sí quiero referirme al “espíritu” de la demostración, que coincide con el de toda su obra: la belleza. La belleza y la verdad siempre van unidas, por eso las matemáticas y la física son dos caras de la misma moneda. Atiyah nos ha enseñado a ir siempre al grano en todos los asuntos con energía, resistir cualquier dificultad, tener los ojos siempre bien abiertos y aprender de la sabia naturaleza, de sus simetrías, armonía y perfección.